«Математика как единый язык для естественных, экономических и компьютерных наук»

© iStock

Лаборатория геометрической алгебры и приложений факультета экономических наук ВШЭ разрабатывает универсальный язык для математики, физики и других точных и естественных наук. Здесь создают вычислительные методы, применяемые в геометрии, физике, машинном обучении, инженерии, компьютерных и других науках. Сотрудники лаборатории, среди которых много аспирантов, опубликовали ряд статей в ведущих научных журналах, принимают участие в конференциях высокого уровня. О работе лаборатории «Вышка.Главное» побеседовала с ее руководителем Дмитрием Широковым.

— Когда открылась лаборатория?

— Наша Лаборатория геометрической алгебры и приложений была создана в июле 2024 года после победы в конкурсе проектов «Зеркальные лаборатории» ВШЭ.

Дмитрий Широков

Фото: Высшая школа экономики

Путь к созданию лаборатории был постепенным. Можно сказать, что все началось с курса «Основы теории алгебр Клиффорда и спиноров», который я стал читать в Вышке с 2020 года как общеуниверситетский факультатив, а также курс по выбору для магистрантов. После его прочтения удалось сформировать коллектив из сильных студентов, которые подхватили эту, на мой взгляд, перспективную и интересную тематику. Именно этот небольшой коллектив в 2021 году выиграл в конкурсе «Научная инициатива», проводимом Центром академического развития студентов ВШЭ. В январе 2022 года мы выиграли в конкурсе научно-учебных групп. С июля 2023 года начали реализовывать коллективный грант РНФ на смежную тематику. В ноябре того же года начали работу в рамках исследовательской рабочей группы «Алгебро-геометрические методы в прикладных науках» на факультете экономических наук. Так что открытие лаборатории в июле 2024-го стало закономерным итогом нескольких лет нашей общей работы, а конкурс «Зеркальные лаборатории НИУ ВШЭ» явился стимулом к ее институционализации. Мы собираемся развиваться дальше, и нам предстоит еще много работы.

— Каковы главные направления деятельности лаборатории?

— Основной объект наших исследований — так называемые алгебры Клиффорда, или, как их еще называют, геометрические алгебры. Их можно рассматривать как своего рода универсальный язык для математики, физики и других точных наук. Многие другие общеупотребимые математические объекты (матрицы, векторы, тензоры, кватернионы, дифференциальные формы) являются частными случаями геометрических алгебр.

Объекты, с которыми мы работаем в геометрических алгебрах, называются мультивекторами. Их преимущество в том, что они не только удобны с алгебраической и вычислительной точек зрения, но и обладают наглядным геометрическим смыслом. Именно поэтому такой формализм зачастую оказывается удобнее матричного — например, при описании вращений и других ортогональных преобразований. В лаборатории мы разрабатываем алгебраические, геометрические и вычислительные методы на основе данного формализма и применяем их в самых разных областях: геометрии, физике, компьютерных науках, инженерии, экономике и других науках.

— Можно ли назвать это междисциплинарными исследованиями, в которых тесно пересекаются математика и физика?

— Безусловно, наша деятельность носит междисциплинарный характер. Мы воспринимаем математику как единый язык для естественных, экономических и компьютерных наук. ХХ век был веком математической физики, а сегодня на передний край выходят машинное обучение, биоинформатика, геоинформатика и другие области. Поэтому мы не ограничиваемся физикой и смотрим на применение наших методов значительно шире.

— Возможно ли популярно изложить обывателю, не очень хорошо помнящему, что такое дифференциальное уравнение, и слабо знакомому с математической физикой, основные черты работ ваших коллег?

— Когда говорят о математической физике, часто имеют в виду уравнения математической физики, то есть дифференциальные уравнения в частных производных. Но математическую физику можно понимать и более широко — как теорию математических моделей физических явлений. При описании и изучении этих моделей нам не всегда нужно пользоваться методами дифференциальных уравнений. Мы можем применять алгебраические методы, методы дифференциальной геометрии и другое. Нас в лаборатории прежде всего интересуют алгебро-геометрические методы.

— В каких науках их можно применять?

— Часто мы решаем задачи, имеющие корни в физике, но используем при этом чисто алгебраические методы, не привлекая дифференциальных уравнений. А иногда занимаемся задачами, не имеющими прямого отношения к физике. Например, недавно у нас вышли работы по реализации и изучению свойств некоторых групп Ли в алгебрах Клиффорда, по вычислению элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп в случае произвольной размерности, по созданию новой архитектуры эквивариантных нейронных сетей, по реализации сингулярного разложения в геометрических алгебрах. У нас есть работы по математической физике, алгебре, геометрии, теории групп и алгебр Ли, вычислительной математике, прикладной математике, машинному обучению и другому. Главный критерий, по которому мы выбираем задачи, — это чтобы они были интересными и имели применение, пусть если не прямо сейчас, то в ближайшем будущем.

— Это больше фундаментальная наука или прикладные исследования?

— Я бы охарактеризовал нашу работу как фундаментальную науку с четкой ориентацией на будущие приложения. Мы доказываем теоремы, но всегда смотрим, как эти результаты могут быть использованы. Мы регулярно участвуем в конференциях, где собираются ведущие прикладники. Например, с 2020 года я ежегодно участвую в воркшопе ENGAGE (Empowering Novel Geometric Algebra for Graphics & Engineering) в рамках международной конференции Computer Graphics International. На нем собираются специалисты по применению геометрической алгебры в компьютерной графике, геоинформационных системах, детектировании движений, инженерии, машинном обучении. И они с интересом слушают наши теоретические доклады. С иностранными коллегами мы планируем совместные проекты, в которых возьмем на себя роль теоретиков, а они сфокусируются на практических компонентах. Пользуясь случаем, приглашаю заинтересованных коллег принять участие в следующем воркшопе ENGAGE, который пройдет в рамках конференции CGI 2026 в Лондоне, где я буду одним из организаторов.

— Ваша лаборатория выглядит очень компактной: вы, ведущий научный сотрудник Николай Марчук и три стажера-исследователя. Планируете ли приглашать новых сотрудников и какими принципами будете руководствоваться в отборе?

— Сейчас в лаборатории работают два доктора наук, Николай Гурьевич Марчук и я. Также у нас три аспиранта: София Румянцева уже практически выходит на защиту кандидатской диссертации, Екатерина Филимошина и Камрон Абдулхаев только поступили в аспирантуру, но уже имеют 8 и 3 публикации соответственно. Все пять человек работают в лаборатории с момента ее основания. У нас сейчас небольшой, но активно работающий коллектив. Только с начала текущего года, то есть за последние 9 месяцев, мы опубликовали 18 статей и сделали 11 докладов на международных конференциях. Мы всегда открыты для новых сотрудников. Главное, чтобы человек был настроен на долгосрочные исследования и горел наукой.

© iStock

— Вы хотели бы видеть в лаборатории больше состоявшихся ученых или молодых исследователей?

— Я бы предпочел, чтобы наша лаборатория выращивала ученых из молодых исследователей. Мы активно работаем с молодежью. Второй год подряд проводим школу для студентов и молодых ученых. В этом году — в международном формате, с докладчиками из Китая, Японии, Индии. Приглашаю всех заинтересованных студентов и начинающих исследователей к участию в школе, которая пройдет в онлайн-формате 14–16 ноября (все подробности можно найти на сайте школы).  Вместе с Екатериной Филимошиной мы ведем исследовательский проектный семинар «Методы линейной алгебры и анализа данных в экономике» на факультете экономических наук. В этом году к нам записалось порядка 20 очень сильных студентов (средний GPA 8.61), под нашим руководством они будут писать курсовые работы. Часть ребят нацелены уже сейчас на решение серьезных задач, которые должны привести к публикациям в научных журналах. Мы очень надеемся, что в будущем они пополнят нашу команду.

— Какими достижениями лаборатории и коллег вы гордитесь?

— Наверное, наша лаборатория еще очень молода, чтобы подводить какие-то итоги. Верю, что главные достижения впереди. Сейчас принято все мерить наукометрическими показателями, и большую роль при отчетности по различным проектам играют публикации в ведущих журналах и участие в топовых конференциях. Поэтому особо горжусь нашей недавней работой, принятой на топовую конференцию по машинному обучению ICML 2025, а также публикациями последних лет в журналах Mathematical Methods in the Applied Sciences, Modern Physics Letters A, Journal of Computational and Applied Mathematics, Linear and Multilinear Algebra и других. Успехом, безусловно, является и востребованность наших результатов: на ряд работ уже активно ссылаются зарубежные коллеги. Наши молодые сотрудники, Екатерина Филимошина и Камрон Абдулхаев, выигрывали в конкурсах лучших докладов на крупной международной конференции ICCA в 2023 году в Холоне, Израиль, и на воркшопе ENGAGE 2021 в Женеве, Швейцария.

— Как и по каким темам вы взаимодействуете с коллегами из Северо-Восточного федерального университета в рамках проекта «Зеркальные лаборатории»?

— С коллегами из СВФУ мы решаем задачи в рамках совместного проекта «Кватернионы, геометрические алгебры и приложения». Группа под руководством Василия Ивановича Васильева имеет большой опыт работы с кватернионами и различными их модификациями — сплит-кватернионами, коммутативными кватернионами, а также их приложениями в различных областях: обработке изображений, электромагнетизме, квантовой механике и квантовой химии. Мы же имеем огромный опыт работы с геометрическими алгебрами, обобщающими понятие кватернионов на большие размерности. Объединив наши компетенции, мы решаем более сложные задачи на стыке этих направлений. У нас действует совместный онлайн-семинар, на котором мы регулярно обсуждаем последние результаты и пытаемся найти подходы к решению новых задач. За полтора года деятельности нашего проекта совместно с коллегами из СВФУ мы уже опубликовали 9 работ, 5 из которых — в Списке А.

— С какими подразделениями Вышки и, возможно, других научных центров взаимодействует лаборатория?

— Помимо СВФУ, мы взаимодействуем с отделом математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, научными группами из Института системных наук Китайской академии наук, а также Нанкинского педагогического университета. Через месяц планируем выступить с докладом на факультете математики Вышки. Мы открыты к диалогу со всеми заинтересованными коллегами.

— Как результаты работ используются в учебном процессе?

— На мой взгляд, наука и преподавание неразрывно связаны. Не совсем правильно заниматься только наукой, необходимо живое общение со студентами. Я преподаю курс линейной алгебры первокурсникам бакалавриата, а то, чем мы занимаемся в лаборатории, — это своего рода надстройка над этим базовым курсом. Поэтому сильные студенты, которые прослушали курс линейной алгебры и хотят развиваться в данном направлении, записываются к нам на исследовательский рабочий семинар либо на факультатив и начинают решать с нами научные задачи. В рамках факультатива я иногда рассказываю студентам о наших последних результатах в данной области, которые могут быть им интересны и поспособствуют их вовлечению в научно-исследовательскую деятельность.